La paradoja de Russell.

Imaginemos que el bibliotecario de nuestra ciudad está inmerso en una labor taxonómica y ha de confeccionar los más inusitados catálogos con tal de mejorar el sistema de búsqueda de textos. De entre todos ellos nos centraremos en dos, a saber: un catálogo que incluya todos los libros en cuyo interior se haga referencia a sí mismos y otro catálogo donde se incluyen los demás, es decir, los que no hacen referencia a sí mismos. Siendo los catálogos, a su vez, libros de la biblioteca, ¿en cuál de ellos debería nuestro amigo incluir el nombre del segundo catálogo?

Ésta es una forma de dar a conocer la paradoja que Bertrand Russell enunció a principios del S.XX y asestó un golpe a la teoría original de conjuntos.

Desde un punto de vista más formal podríamos partir de que

R es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

De esta forma, un conjunto A pertenecerá a R si el propio conjunto A no se encuentra entre sus propios elementos.

Esto puede parecer una contradicción, pero con un ejemplo parecerá mucho más claro. Vamos a suponer que el conjunto A sea el conjunto que englobe a los conjuntos con infinitos miembros. Como hay infinitos conjuntos con infinitos miembros A tendrá, a su vez, infinitos miembros. Por lo que A estará contenido en sí mismo y no será un miembro de R.

La pregunta que nos lleva irremediablemente a la paradoja es la de si el propio R es o no un miembro de sí mismo.

Si no lo fuera entonces R pertenecería a sí mismo por el hecho de ser un conjunto que no es miembro de sí mismo (definición de R). Lo cual es una clara contradicción.

De igual modo, el hecho de que R fuera miembro de sí mismo entraría en contradicción con la propia definición.

A la paradoja de Russell se la conoce a menudo por la paradoja del barbero, ya que se suele utilizar el siguiente relato para ilustrarla:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas). Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
-En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre felíz.