sábado, agosto 04, 2007

La paradoja de Russell.

Imaginemos que el bibliotecario de nuestra ciudad está inmerso en una labor taxonómica y ha de confeccionar los más inusitados catálogos con tal de mejorar el sistema de búsqueda de textos. De entre todos ellos nos centraremos en dos, a saber: un catálogo que incluya todos los libros en cuyo interior se haga referencia a sí mismos y otro catálogo donde se incluyen los demás, es decir, los que no hacen referencia a sí mismos. Siendo los catálogos, a su vez, libros de la biblioteca, ¿en cuál de ellos debería nuestro amigo incluir el nombre del segundo catálogo?
Ésta es una forma de dar a conocer la paradoja que Bertrand Russell enunció a principios del S.XX y asestó un golpe a la teoría original de conjuntos.
Desde un punto de vista más formal podríamos partir de que
R es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
De esta forma, un conjunto A pertenecerá a R si el propio conjunto A no se encuentra entre sus propios elementos.
Esto puede parecer una contradicción, pero con un ejemplo parecerá mucho más claro. Vamos a suponer que el conjunto A sea el conjunto que englobe a los conjuntos con infinitos miembros. Como hay infinitos conjuntos con infinitos miembros A tendrá, a su vez, infinitos miembros. Por lo que A estará contenido en sí mismo y no será un miembro de R.
La pregunta que nos lleva irremediablemente a la paradoja es la de si el propio R es o no un miembro de sí mismo.
Si no lo fuera entonces R pertenecería a sí mismo por el hecho de ser un conjunto que no es miembro de sí mismo (definición de R). Lo cual es una clara contradicción.
De igual modo, el hecho de que R fuera miembro de sí mismo entraría en contradicción con la propia definición.
A la paradoja de Russell se la conoce a menudo por la paradoja del barbero, ya que se suele utilizar el siguiente relato para ilustrarla:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas). Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
-En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre felíz.

8 comentarios:

Soyuncaballo dijo...

Que alguien por favor me defina, en el ejemplo del barbero, cuál es el conjunto R.

Gracias.

Leralion dijo...

Uhm... buena pregunta. R podría ser el conjunto de personas que no son capaces de afeitarse por sí mismas, al que le asociamos al barbero (isomorfismo, jeje) de la misma forma que en el ejemplo del bibliotecario asignamos los catálogos. Creo que es así, vamos...

soyuncaballo dijo...

Yo definiría el conjunto R como el conjunto de personas que deben cumplir la Ley de llevar la cabeza afeitada, pero que ajustándose al texto de ésta les es imposible.

Por tanto dividiría el conjunto "todas las personas" (que aglutina a todos y cada uno de los súbditos del sultán en cuestión, incluídos los barberos) en tres subgrupos: los que les es posible cumplir la Ley sin problema, los que no la cumplen porque no quieren (objetores) y los que les es imposible cumplirla aunque quisieran (grupo R, de barberos).

Obviamente los que pertenecen al grupo R tienen un problema, pero ello no quiere decir que sus integrantes no sean miembros de sí mismos, ya que siguen perteneciendo al grupo mayor "todas las personas".

Leralion dijo...

Joder, es muchísimo más rebuscado. Pero creo que tienes razón, ahora que lo dices se ve más claro. En principio por analogía al razonamiento del resto de ejemplos, y además así cuadra todo mejor.
Gracias por la aclaración. :p

Kementari dijo...

Pues a mi me gustaría saber cómo decidió el emir cuál era la más virtuosa de sus hijas.

Leralion dijo...

No sé por qué, pero también esperaba esa pregunta.

soyuncaballo dijo...

Esa pregunta es mejor que la mía. No sé que contestar...

Anónimo dijo...

¿Quién de Ustedes conoce la fecha exacta de la publicación de Russell y el nombre del texto o revista en la que se encuentra el original o una buena traducción al español?
Gracias.